\section{波粒二象性}

\begin{note}
    牛顿将光看作一束粒子,譬如,在镜面上反射时这些粒子是被弹回去的.
    在19世纪上半叶,已经证实了光的波动性(干涉、衍射),后来,
    正是这种性质使人们把光学归并到电磁理论中,在这个理论的范畴中,
    光速C是与电磁常数相联系的,而光的偏振现象则被解释为电场的矢量特性的表现.

    可是,对于电磁理论无法解释的黑体辐射的研究,引导普朗克提出了能量量子化的假说(1900年):
    对于频率为v的电磁波,可能的能量只能是量子$h\nu$的整数倍,这里$h$是一个新的基本常量.
    后来,爱因斯坦赋予这个假说以更加普遍的意义,他建议回到微粒说去(1905年):
    光是由一束光子组成的,每个光子具有能量$h\nu$.

    爱因斯坦说明了光子的引人如何很容易地就解释了当时还无法解释的光电效应的某些特性.
    差不多二十年后,康普顿效应(1924年)才直接证实光子是一个个的微粒.

    上述结果导致下面的结论:电磁波和物质的相互作用是在不可再分割的基元过程中实现的,
    在这种过程中辐射显得是由粒子即光子构成的.


    \begin{align*}
        E =   & h\nu= \hbar \omega \\
        \vecp & = \hbar\veck
    \end{align*}

\end{note}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/ElectronInterferenceExperiment20240815202011.jpg}
    \caption{电子的干涉实验\label{fig:ElectronInterferenceExperiment20240815202011}}
\end{figure}
\begin{note}
    \par Young氏双缝实验是量子力学中最初的、最普通的、最著名的、最奇特的实验,
    也是最富于量子力学味道的实验.因为,它表面浅显易懂,其实深邃难以捉摸,难于理解和表述;
    它很容易利用程差简单说明,但又难以精确求解Schrodinger方程,以得到强度分布;
    它出现在所有量子力学教材中,是众所周知的基础性实验,却又常常被人们忽略了它许多重要和必要的侧面;
    它是量子力学中最古老、最普通的实验,但近代却又不断出现花样翻新的新版本.
    \textbf{Young氏双缝实验是量子力学的心脏.}实验中,被接收屏上某点探测器接
    收到的电子是由电子枪发射出来,并穿过双缝屏到达的.
    那么,这些电子究竟是怎样穿过双缝的呢?
    \par 有如下几种回答：
    \begin{itemize}
        \item 经典观念牢固:电子不是孙悟空,只能从两缝之一穿过去.
        \item 承认没有想清楚:这是个两难回答的问题一回答困难.
        \item 绕过去不回答:缝屏前的人射电子消失了,在缝后接收屏上某处电子被探测到了.
        \item 本质上是经典观念:电子客观上是在空间某处,只是我们不知道.一旦知道了,状态就会改变.
        \item 用经典观念来概括:(客观上)是确定的,但(我们)不确知.
        \item 直截了当拒绝回答:这是个科学之外的问题.
        \item 还是直截了当地拒绝回答:不必问电子是怎样穿过双缝的,因为那是哲学的东西.我们是研究物理规律的.
        \item 平庸的错误:一束电子集体构成一个波束,这个波束同时穿过双缝,形成干涉花样. 这实质是主张:
              电子的波动性只是电子集体的相干性行为,不承认单个电子有内禀的波动性质.
        \item 引人遐想的错误:电子是漂浮在波函数海面上的一艘船,它往哪走由海流引导,
              一旦被发现,则是这艘船的完整的本身.
        \item 似是而非地否定:说电子从两条缝同时穿过去是不对的.
              因为,这和电子是个局域性的东西相矛盾.何况,从来没人看到过从两条缝同时穿过去的实验现象.
        \item 似乎有理的否定:又说电子从两条缝同时穿过去,又不能真正明白地测量发现这件事.这是违背科学精神的。
    \end{itemize}

    \par 正确的回答: \textbf{在此实验中,每个电子都是从两条缝同时穿过去的.
        电子所处状态是两条途径的两种状态的相干叠加 ,表明每个电子都是自身干涉.
        若进行"which way"测量,必向两者之一塌缩;原则上无法分辨就会发生双态间的干涉.}
    \par 从本质上说,微观粒子的内禀性质既不是经典"波包",也不是经典"弹丸(粒子)".
    它们的行为只是有时像宏观"波包",有时又像宏观"弹丸".
    人们采用宏观世界经典物理学语言作不伦不类的比喻就说是"波粒二象性".
\end{note}

\section{量子物理的图像}

\begin{note}
    \par 上面说明,量子力学的基本图像是:所有微观粒子都具有波粒二象性.
    下面表明,由此基本图像出发,按物理分析,可以推论出量子力学的三个基本特征:
    \begin{itemize}
        \item 描述方式的概率特征.
        \item 物理量常常分立取值的量子化现象.
        \item 不确定性关系式.
    \end{itemize}
    三者贯穿整个量子力学,共同构筑着量子力学的基本特征.
    \par 第一,由微观粒子波粒二象性,可以导致量子力学的一个重要特征:描述粒子运动中的或然性,
    即概率幅或de Broglie波的概率诠释

    与一束匀速直线运动粒子流相联系的应当是一个平面波
    \(Ae^{i(\veck\cdot \vecr - \omega t)},\)
    将 de Broglie关系代入其中，
    便得到和这束粒子流相联系的 de Broglie 平面波
    \begin{align*}
        \psi(\vecr,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vecp\cdot \vecr - Et)}
    \end{align*}
    研究下面归一化的 de Broglie 波波包
    \begin{align*}
        \psi(\vecr,t) = \int \psi(p) e^{\frac{i}{\hbar}(\vecp\cdot \vecr - Et)} \rmd \vecp
    \end{align*}
    取$t=0$,
    \begin{align*}
        \psi(\vecr) = \int \psi(p) e^{\frac{i}{\hbar}\vecp\cdot\vecr} \rmd \vecp
    \end{align*}
    这里$\psi(\vecr)$是粒子在$\vecr$处的de Broglie波波幅,即概率幅.
    将$|\psi(\vecr)|^2$理解为r附近单位体积内找到粒子的概率,或说成粒子取坐标$\vecr$的概率密度.
    而$|\psi(\vecp)|^2$则理解成粒子取动量$\vecp$的概率密度.

    \par 第二,微观粒子波动性怎样导致微观粒子能量和状态的分立化或量子化现象,
    注意,即便在经典物理学领域,也存在一个重要的、普遍的、众所周知的事实:
    任何类型的波动,当它们展布或传播在无限时空中时,波参数可以取连续变化数值:
    但是,一旦用某种方式将这些波局域在有限时空,波场所取的波参数必定分立化,它们频率和波长均要断续化、
    分立化.
    \par 转到微观粒子情况.局域de Broglie波的波动性同样会造成频率和波长的分立化.
    而且还进一步,频率和波长的这种分立化又通过de Broglie波特有的禀性转化为该粒子能量和动量的分立化.
    因此,任何局域化的de Broglie波必将伴随其能量的量子化.
    这是微观粒子具有de Broglie波波动性的结果,是局域de Broglie波(由边界反射而)自相干涉的结果.
    \par 第三,微观粒子的波动性怎样导致Heisenberg不确定性关系.

    \par $\psi(x)$和$\psi(p)$是一对Fourier积分变换对,应用Fourier积分变换的带宽定理,
    立刻得到Heisenberg不确定性关系
    \begin{equation*}
        \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
    \end{equation*}
    此式说明,不论微观粒子de Broglie波波包形状如何,在同一个态中,
    粒子动量偏差方均根与坐标偏差方均根的乘积不能小于$\hbar/2$.
    或者说,不论微观粒子处于何种状态,其坐标和动量客观上就不可能同时具有确定的数值,
    当然也就谈不上能在同一个实验中将它俩同时测准!
    这里强调指出,这种不能同时测准是原则性的.就是说,
    不存在能同时测准微观粒子位置和动量的实验方案,并非任何实验方案欠周到、
    实验技术欠精密所带来的实验误差.

    \par 由于Fourier积分变换的带宽定理只是一个与物理无关的普适数学定理,
    可知任何种类波(弹性波、光波、声波…)均存在类似关系式.
    这是对波动过程进行Fourier分析所得的基本结论!
    所以说,不确定性关系的物理根源是微观粒子的波动性!
    或者说,微观粒子波动禀性对微观粒子状态施加的普适制约!
\end{note}

\section{量子体系公设}
\input{content/QuantumMechanics/postulate.tex}

\section{时间导数算符}

\begin{equation*}
    \ddt{\hat{\Omega}} = \pfp{\hat{\Omega}}{t} +\Poss{\Omega}{H}
\end{equation*}

\begin{note}
    对于分立谱定态（能量本征态），任何不显含时间的力学量算符，即便与
    $H$不对易，其期望值也不随时间变化.

    对$H$不含时情况可知
    \begin{enumerate}
        \item 一个力学量对应的Hermite
              算符，如果它既不显含t又与体系Hamilton量对易，这个力学量便是这个体系的一
              个守恒物理量，简称为守恒量，或称为运动常数.
        \item 就给定体系而言，说某个力
              学量是守恒量，具体含义有两点，该力学量在此体系任意（束缚）态内的期望值
              不随时间变化,该力学量在此体系任意（束缚）态内取值的概率分布不随时间改
              变。特殊情况下，若所给态中该力学量具有确定值（此时波函数是该力学量算符的
              本征函数），则在以后任何时刻该态仍具有此确定值，或者说，这个确定值是个守恒
              的量子数，又常称为好量子数
        \item 一个算符的时间导数算符，因
              为含有与H的对易子，对不同体系其表达形式可能不同。
    \end{enumerate}
\end{note}

\section{Hellmann-Feynman定理}

\begin{theorem}[][Hellmann-Feynman定理]
    \textbf{Hellmann-Feynman theorem}\quad
    微观粒子状态和力学量除了可能随时间变化之外,还可能依赖于某些参数,
    如势阱宽度、位势函数中参量,甚至粒子质量、电荷、角动量等.特别是体系Hamilton量,
    其期望值经常包含某些参量或体系的空间结构参数.
    现在研究Hamilton量期望值如何随参数变化.
    设体系$H(\lambda)$处于某个定态$\psi(r, \lambda)$上, $\lambda$是某一参量,
    $$
        H(\lambda) \psi(\boldsymbol{r}, \lambda)=E(\lambda) \psi(\boldsymbol{r}, \lambda)
    $$
    于是存在一个很实用的Helmann-Feynman定理
    $$
        \frac{\partial E(\lambda)}{\partial \lambda}=\int \mathrm{d} r \psi^*(\vecr, \lambda) \frac{\partial H(\lambda)}{\partial \lambda} \psi(r, \lambda)
    $$
\end{theorem}

\section{位力定理}

\begin{theorem}[][位力定理]
    \textbf{virial force theorem}\quad
    设$\hat{T}$和$\hat{V}$是动能和势能算符,束缚定态的Virial定理表述为
    $$
        \langle\hat{T}\rangle=\frac{1}{2}\left\langle\sum_i x_i
        \frac{\partial \hat{V}}{\partial x_i}\right\rangle
    $$
    若$V$为$k$齐次齐次函数，则
    $$
        2\langle\hat{T}\rangle=k\langle\hat{V}\rangle
    $$
\end{theorem}

\begin{note}
    这就是经典力学里的位力定理的量子化。
\end{note}

